Furstenberg measures on $\mathbb{CP}^{1}$ 的维数

设 $\theta$ 为 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 上有限支撑概率测度，假设由 $\mathcal{G}:=\mathrm{supp}(\theta)$ 生成的半群是 strongly irreducible 和 proximal。记 $\theta$ 在 $\mathbb{CP}^{1}$ 上的 Furstenberg 测度为 $\mu$。进一步假设不存在由 $\mathcal{G}$ 中元素对应的 M"obius 变换固定的 generalized circle，且 $\mathcal{G}$ 满足 mild Diophantine 条件。 在这些假设下，我们证明 $\dim\mu=\min\left\{ 2,h_{\mathrm{RW}}/\left(2\chi\right)\right\}$，其中 $h_{\mathrm{RW}}$ 和 $\chi$ 分别是与 $\theta$ 相关的 random walk entropy 和 Lyapunov 指数。由于我们的结果以 random walk entropy 而非 Furstenberg entropy 表述 $\dim\mu$，且仅依赖于 mild Diophantine 条件作为 separation 假设，我们不得不直接面对 $\mathbb{CP}^{1}$ 实维为 $2$ 而非 $1$ 所引发的困难。此外，我们的分析发生在 projectively、contracting-on-average 的 setting 中。这种特征的组合引入了显著的挑战，并需要 genuinely new ideas。