流形上 Dirichlet 扩散过程经验测度的 Wasserstein 距离收敛性

设 $M$ 为带边界 $\partial M$ 的 $d$ 维连通紧致黎曼流形，设 $V\in C^2(M)$ 使得 $\mu({\rm d} x):={\rm e}^{V(x)}{\rm d} x$ 为一概率测度，并设 $X_t$ 为由 $L:=\Delta+\nabla V$ 生成的扩散过程，其中 $\tau:=\inf\{t\ge 0: X_t\in\partial M\}$。考虑该扩散过程在条件 $t<\tau$ 下的经验测度 $\mu_t:=\frac 1 t \int_0^t \delta_{X_s}{\rm d} s$。若 $d\le 3$，则对任意不完全支撑于 $\partial M$ 上的初始分布，对某个常数 $c\in (0,1]$（当 $\partial M$ 凸时 $c=1$）成立\n\begin{align*} &c\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m-\lambda_0)^2} \le \liminf_{t\to \infty} \inf_{T\ge t} \Big\{t {\mathbb E}\big[\mathbb W_2(\mu_t, \mu_0)^2\big|T<\tau\big]\Big\} \\ &\le \limsup_{t\to \infty} \sup_{T\ge t} \Big\{ t \mathbb E\big[\mathbb W_2(\mu_t, \mu_0)^2\big|T<\tau\big] \Big\}\le \sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m-\lambda_0)^2}\end{align*}\n其中 $\mu_0:= \phi_0^2\mu$ 为 $L$ 的第一 Dirichlet 特征函数 $\phi_0$，$\{\lambda_m\}_{m\ge 0}$ 为 $-L$ 的 Dirichlet 特征值按递增顺序计重数排列，且上界有限当且仅当 $d\le 3$。当 $d=4$ 时，$\sup_{T\ge t} \mathbb E\big[\mathbb W_2(\mu_t, \mu_0)^2\big|T<\tau\big]$ 以 $t^{-1}\log t$ 阶衰减，而当 $d\ge 5$ 时其渐近行为如 $t^{-\frac 2 {d-2}}$，当 $t\to\infty$。