紧黎曼流形上适度自相互作用扩散对均匀分布的收敛

我们考虑光滑紧黎曼流形$\mathbb M$上的自相互作用扩散$X$，由随机微分方程$$dX_t = \sqrt{2} dW_t(X_t)- \beta(t) \nabla V_t(X_t)dt$$描述，其中$\beta$有适当的下界且至多对数增长，$V_t(x)=\frac{1}{t}\int_0^t V(x,X_s)ds$，$V\colon \mathbb M^2\to\mathbb R$为适当的光滑函数，使项$-\nabla V_t(X_t)$具有自排斥性。我们证明几乎必然地$X$的归一化占据测度$\mu_t$弱收敛于均匀分布$\mathcal U$，并给出对光滑测试函数的多项式收敛速率。该结果的关键在于证明若$f\colon\mathbb M\to\mathbb R$光滑，则$\mu_{e^t}(f)$跟踪由常微分方程$$\dot x_t=-x_t+\mathcal U(f)$$生成的流。