某些特殊的自相互作用扩散：遍历性与几乎必然收敛

本文研究了生活在 $\mathbb{R}^d$ 上的一些自相互作用扩散 $(X_t,t\geq 0)$。这些扩散是以下随机微分方程的解：$$\mathrm{d}X_t=\mathrm{d}B_t-g(t)\nabla V(X_t-\bar{\mu}_t)\,\mathrm{d}t,$$ 其中 $\bar{\mu}_t$ 是过程 $X$ 的经验均值，$V$ 是一个渐近严格凸势，$g$ 是一个给定函数。我们研究了 $X$ 的遍历性行为，并证明其与 $g$ 密切相关。实际上，我们表明 $X$ 是遍历的（在极限商意义下）当且仅当 $\bar{\mu}_t$ 几乎必然收敛。我们还给出了 $X$ 几乎必然收敛的一些条件（关于 $g$ 和 $V$）。