离散群平稳空间的 Abramov 公式

设 $(G, \mu)$ 为装备了生成概率测度的离散群，$\Gamma$ 为 $G$ 的有限指数子群。从单位元出发的 $G$ 上的 $\mu$-随机游走以概率 1 返回 $\Gamma$。设 $\theta$ 为击中测度，即随机游走首次击中 $\Gamma$ 时位置的分布。我们证明，关于 $(\Gamma, \theta)$ 诱导作用的 $(G, \mu)$-平稳空间的 Furstenberg 熵，等于关于 $(G, \mu)$ 作用的 Furstenberg 熵乘以 $\Gamma$ 在 $G$ 中的指数。该指数被证明等于返回 $\Gamma$ 的期望时间。作为推论，当应用于 $(G, \mu)$ 的 Furstenberg-Poisson 边界时，我们证明 $(\Gamma, \theta)$ 的随机游走熵等于 $(G, \mu)$ 的随机游走熵乘以 $\Gamma$ 在 $G$ 中的指数。