一类自相似测度的修正多重分形形式

$\mathbb{R}^n$ 中 Borel 测度 $\mu$ 的多重分形谱定义为 $$f_\mu(\alpha) = \dim_H {x:\lim_{r\to 0} \frac{\log \mu(B(x,r))}{\log r}=\alpha}.$$ 对于满足开集条件的自相似测度，此函数及相关函数的性态已被充分理解；情形十分规则，并受所谓“多重分形形式”支配。近来人们颇感兴趣于理解该理论有多少可推广至重叠情形；然而此情形下所知甚少，且已知结果表明更复杂的现象是可能的。此处我们对一类含重叠的自相似测度（包括 Cantor 测度的三重卷积）的多重分形结构作了完整研究。除其他外，我们证明多重分形形式对许多此类测度失效，但在取适当限制时成立。