具有预定齐次多重分形谱的测度与函数

本文构造了支撑在 $[0,1]$ 上且具有预定多重分形谱的测度。此外，这些测度是齐次多重分形（简称 HM）的，即它们在 $[0,1]$ 的任何子区间上的限制具有与整个测度相同的多重分形谱。我们能够预定的谱 $f$ 是可数个由 $[0,1]$ 的子区间支撑的阶梯函数的上确界，并满足对所有 $h\in [0,1]$ 有 $f(h)\leq h$。我们还发现了 HM 测度的多重分形谱的一个令人惊讶的约束：其谱在 $[0,1]$ 内的支撑必须是一个区间。这一结果类似于测度多重分形谱的 Darboux 定理。该结果是最优的，因为我们构造了一个谱支撑在 $[0,1] \cup \{2\}$ 上的 HM 测度。利用小波理论，我们还构建了具有预定多重分形谱的 HM 函数。