一类具有重叠的自相似测度的 $L^q$-谱

众所周知，被称为多重分形形式主义的启发式原理未必对具有重叠的自相似测度成立，例如 Cantor 测度的 3 重卷积以及某些 Bernoulli 卷积。本文研究多重分形理论中的一个重要函数，即有限类型测度（一类包含这些例子的自相似测度）的 $L^{q}$-谱 $\tau (q)$。对应于每个测度，我们引入有限多个 $L^{q}$-谱的变体，它们由有限类型结构自然产生，且通常比 $\tau$ 更易理解。我们证明 $\tau$ 总是由这些变体的最小值所界定，且对 $q\geq 0$ 等于最小变体。这一特定变体与测度 $\mu$ 限制在其支撑的适当子集上的 $L^{q}$-谱一致。若迭代函数系统（IFS）满足特定的结构性质（上述例子确实满足），则证明 $\tau$ 对所有 $q$ 均为这些变体的最小值。在对 $\mu$ 的局部维数作某些假设下，我们证明对 $q \ll 0$ 的最小变体与斜率为 $\mu$ 的最大局部维数的直线一致。同样，上述例子即属此情形。更一般地，给出了 $\tau$ 及其变体基于与 $\mu$ 的局部维数密切相关概念的界。