M"{o}bius迭代函数系统-stationary measures的$L^q$维数

我们研究满足强Diophantine条件的M"{o}bius迭代函数系统在$\mathbb{R}$上的stationary measures $\nu$的$L^q$维数 $D(\nu,q)\ (q>1)$，并尝试延伸Shmerkin的结果。结果表明存在二元对：$L^q$谱 $\tau(\nu,q)=(q-1)D(\nu,q)$等于所需值 $\min\{\widetilde{\tau}(\nu,q),q-1\}$（其中$\widetilde{\tau}(\nu,q)$为canonical pressure函数的零点），或存在 $q_0>1$ 和 $0<\alpha<1$，使得 $\tau(\nu,q)=\min\{\widetilde{\tau}(\nu,q),q-1\}$（当 $1<q<q_0$ 时）以及 $\tau(\nu,q)=\alpha q$（当 $q\geq q_0$ 时）。此外，我们给出M"{o}bius迭代函数系统的示例，表明后者情形，并对Solomyak的问题给出肯定回答。