关于不变测度的度量熵与广义分形维数之间关系的注记

我们在本工作中研究了一些情形，其中可以估计或确定与紧度量空间上连续变换相关的不变测度的上、下 $q$-广义分形维数 $D^{\pm}_{\mu}(q)$，$q\in\mathbb{R}$。特别地，我们给出了 Young 定理~\cite{Young} 关于与二维紧黎曼流形 $M$ 上的 $C^{1+\alpha}$-Axiom A 系统相关的 Bowen-Margulis 测度的广义分形维数的一个替代证明。我们还针对满足 Brin-Katok 定理逐点成立的遍历测度，依据其度量熵给出了广义分形维数的估计。此外，对于扩张同胚（如 $C^1$-Axiom A 系统），我们证明了在双曲度量下使得 $D_\mu^+(q)=0$（$q\ge 1$）的不变测度集合是稠密的（考虑到弱拓扑）。我们还证明了对于每个 $s\in [0,1)$，在双曲度量下 $D^{+}_{\mu}(s)$ 被拓扑熵上界所界，至多差一个常数。最后，我们证明了对于某些动力系统，不变测度的度量熵通常为零，从而解决了 Sigmund 在~\cite{Sigmund1974} 中针对满足规范性质的 Lipschitz 变换所提出的一个猜想。