饱和集的Bowen度量平均维数的变分原理

对于具有无限拓扑熵的动力系统，经典熵无法有效量化其复杂性，而度量平均维数在此背景下提供了自然扩展。本文从Bowen上下度量平均维数的角度研究饱和集的复杂性。我们证明，如果动力系统$(X,f)$满足$g$-几乎乘积性质，则对于有限个不变测度的凸组合集合的任意紧致连通非空子集$K$，饱和集$G_K$满足$$\overline{\operatorname{mdim}}^B_{M}\left(G_K, f, d\right)=\limsup_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{|\ln \varepsilon|} \inf_{\mu \in K} \inf _{\operatorname{diam}(\xi)<\varepsilon} h_\mu(f, \xi),$$ $$\underline{\operatorname{mdim}}^B_{M}\left(G_K , f, d\right)=\liminf_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{|\ln \varepsilon|} \inf_{\mu \in K} \inf_{\operatorname{diam}(\xi)<\varepsilon} h_\mu(f, \xi),$$ 其中$\overline{\operatorname{mdim}}^B_{M}$和$\underline{\operatorname{mdim}}^B_{M}$分别表示$f$在$G_K$上的Bowen上、下度量平均维数，$h_\mu(f,\xi)$是测度$\mu$关于划分$\xi$的测度论熵。作为应用，我们给出了关于一般连续函数的多重分形分析的抽象框架，扩展了Backes (2023, Trans. Inform. Theory, 69, 5485-5496)和Liu (2024, J. Math. Anal. Appl., 534, 128043)的先前工作。