与 Salem 数相关的 Bernoulli 卷积的多重分形分析

我们考虑 Bernoulli 卷积 $\nu_{\lambda}$ 的多重分形结构，其中 $\lambda^{-1}$ 是 $(1,2)$ 中的 Salem 数。设 $\tau(q)$ 表示 $\nu_\lambda$ 的 $L^q$ 谱。我们证明，如果 $\alpha \in [\tau'(+\infty), \tau'(0+)]$，则水平集 $$E(\alpha):={x\in \R:\; \lim_{r\to 0}\frac{\log \nu_\lambda([x-r, x+r])}{\log r}=\alpha}$$ 非空且 $\dim_HE(\alpha)=\tau^*(\alpha)$，其中 $\tau^*$ 表示 $\tau$ 的 Legendre 变换。该结果推广至所有满足渐近弱分离条件的自共形测度。我们指出，当 $\lambda^{-1}$ 是多项式 $x^{n}-x^{n-1}-... -x+1$（$n\geq 4$）的最大实根时，区间 $[\tau'(+\infty), \tau'(0+)]$ 不是单点集。我们还构造了一个例子，表明绝对连续的自相似测度也可能具有丰富的多重分形结构。