实数上傅里叶求和公式的完整分类

我们完全分类满足以下形式的傅里叶求和公式：$$\int_{\mathbb{R}} \widehat{\varphi}(t) d\mu(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a(\lambda_n)\varphi(\lambda_n),$$ 其中 $\widehat\varphi$ 为 $\varphi$ 的傅里叶变换，$\mu$ 为固定的复测度，$a:\{\lambda_n\}_{n\geq 0}\to\mathbb{C}$ 为固定函数。我们仅假设满足衰减条件：$$\int_{\mathbb{R}} \frac{d |\mu|(t)}{(1+t^2)^{c_1}} + \sum_{n\geq 0} |a(\lambda_n)|e^{-c_2 |\lambda_n|}<\infty,$$ 其中 $c_1,c_2>0$。这完成了首位作者之前工作的进一步推广，其中要求 $c_1\leq 1$。我们证明，任意满足此条件的对 $(\mu,a)$ 都可以唯一关联到一个在上半平面上解析的几乎周期函数 $F(z)$，且该函数属于特定更高指数的 Nevanlinna 类。反向亦然：对于任意此类函数 $F$，都可以生成一个傅里叶求和对 $(\mu,a)$。我们提供了此前结果未涵盖的重要求和公式示例，如 Selberg 的迹公式。