Beurling--Helson定理的定量方面：特殊形式的相位函数

我们考虑环面$\mathbb{T}^d$上绝对收敛傅里叶级数空间$A(\mathbb{T}^d)$。$A(\mathbb{T}^d)$上的范数自然定义为$\|f\|_{A}=\|\widehat{f}\|_{l^1}$，其中$\widehat{f}$是函数$f$的傅里叶变换。对于$\mathbb T^d, \,d\geq 2,$上某种特殊形式的实函数$\varphi$，我们得到了当$\lambda\rightarrow\infty$时范数$\|e^{i\lambda\varphi}\|_A$的下界。特别地，我们证明如果对于$|y|\leq\pi$有$\varphi(x, y)=a(x)|y|$，其中$a\in A(\mathbb{T})$是任意非常值实函数，则$\|e^{i\lambda\varphi}\|_{A(\mathbb{T}^2)}\gtrsim |\lambda|$。