傅里叶级数在端点或端点之外的收敛性

我们考虑了调和分析中端点或端点之外的几个问题。这些问题的解与某些次线性算子的估计有关。为此，我们引入了一些新的函数空间 $RL^{p,s}_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n)$ 和 $\dot{R}L^{p,s}_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n)$，它们扮演了与经典 Hardy 空间 $H^p({\bf R}^n)$ 类似的角色。这些空间是 $L^p_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n)$ 的子空间，其中 $1<s<\infty, 0<p\leq s$ 且 $-n<\alpha<n(p-1)$，并且当 $-n<\alpha<n(p/s-1)$ 时，$\dot{R}L^{p,s}_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n) \supset L^s({\bf R}^n)$。我们证明了以下结果。首先，对于 $RL^{p,s}_{|x|^{\alpha}}({\bf R})$ 和 $\dot{R}L^{p,s}_{|x|^{\alpha}}({\bf R})$ 中满足 $1<s<\infty, 0<p\leq s$ 且 $-1<\alpha<p-1$ 的所有函数，其傅里叶级数的 $\mu_\alpha$-a.e. 收敛和 ${L}^{p}_{|x|^{\alpha}}({\bf R})$-范数收敛均成立，其中 $\mu_\alpha(x)=|x|^{\alpha}$；其次，许多最初定义在 $L^p({\bf R}^n)$（$1<p<\infty$）函数上的次线性算子，例如 Calder\'{o}n-Zygmund 算子、C.Fefferman 奇异乘子算子、R.Fefferman 奇异积分算子、临界指标处的 Bochner-Riesz 平均、某些振荡奇异积分算子等，都存在将 $RL^{p,s}_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n)$ 和 $\dot{R}L^{p,s}_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n)$ 映射到 $L^p_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n)$ 的扩张，其中 $1<s<\infty, 0<p\leq s$ 且 $-n<\alpha<n(p-1)$；最后，Hardy-Littlewood 极大算子从 $RL^{p,s}_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n)$（或 $\dot{R}L^{p,s}_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n)$）到 ${L}^{p}_{|x|^{\alpha}}({\bf R}^n)$ 有界当且仅当 $1<s<\infty, 0<p\leq s$ 且 $-n<\alpha<n(p-1)$。