Hardy 空间中单叶函数导数的积分均值

我们证明了 Hardy 空间 $H^p$ 中的范数满足 \begin{equation}\label{absteq} \|f\|_{H^p}^p\asymp\int_0^1M_q^p(r,f')(1-r)^{p\left(1-\frac1q\right)}\,dr+|f(0)|^p\tag{\dag} \end{equation} 对所有单叶函数成立，只要 $q\ge2$ 或 $\frac{2p}{2+p}<q<2$。该渐近关系此前在 $0<p\le q<\infty$ 以及 $\frac{p}{1+p}<q<p<2+\frac{2}{157}$ 的情形下，分别由 Pommerenke (1962)、Baernstein、Girela 和 Pel\'aez (2004) 以及 Gonz\'alez 和 Pel\'aez (2009) 的结果所知晓。我们还证明了若 $1\le q<\infty$，则所有近凸函数均满足 \eqref{absteq}。并简要讨论了 \eqref{absteq} 在加权 Bergman 空间背景下的对应形式。