$MVBV$ 条件下傅里叶级数的 $L^{1}$ 收敛性

设 $f\in L_{2\pi}$ 为实值偶函数，其傅里叶级数为 $\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx$，并设 $S_{n}(f,x), n\geq 1,$ 为该傅里叶级数的第 $n$ 个部分和。众所周知，若非负序列 $\{a_{n}\}$ 递减且 $\lim\limits_{n\to \infty}a_{n}=0$，则当且仅当 $\lim\limits_{n\to \infty}a_{n}\log n=0$ 时，有 $$\lim\limits_{n\to \infty}\Vert f-S_{n}(f)\Vert_{L}=0。$$ 我们将这一经典结果中的单调条件弱化为所谓的均值有界变差 ($MVBV$) 条件。本文主要结果给出了复空间中函数 $f\in L_{2\pi}$ 的 $L^{1}$ 收敛性，上述经典结果在实值函数空间中的推广作为其特例呈现。我们还给出了在 $MVBV$ 条件下函数 $f\in L_{2\pi}$ 的 $L^{1}$ 逼近结果。