调和分析中端点或端点之外的估计：Bochner-Riesz 平均与球面平均

我们引入了一些新的函数空间来研究端点或端点之外的一些问题。首先，我们证明了对于 $\frac{n-1}{2(n+1)}<\lambda \leq \frac{n-1}{2}, 0 < p\leq p'_\lambda=\frac{2n}{n+1+2\lambda}, n(\frac{p}{p_\lambda}-1)< \alpha<n(\frac{p}{p'_\lambda}-1)$ 和 $0<R<\infty$，Bochner-Riesz 平均 $B_R^\lambda$ 从 $L^p_{|x|^\alpha}$ 的某些子空间到 $L^p_{|x|^\alpha}$ 是有界的；对于 $\frac{n-1}{2}\leq \lambda < \infty, 0 < p\leq 1$ 和 $-n< \alpha<n(p-1)$，极大 Bochner-Riesz 平均 $B_*^\lambda$ 亦然。由此我们得到了 $B_R^\lambda$ 对这些 $\lambda,p,$ 和 $\alpha$ 的 $L^p_{|x|^\alpha}$-范数收敛性质。其次，设 $n\geq 3,$ 我们证明了对于 $0<p\leq \frac{n}{n-1}$ 和 $-n(1-\frac{p}{2})<\alpha<n(p-1)-n$，极大球面平均从 $L^p_{|x|^\alpha}$ 的某些子空间到 $L^p_{|x|^\alpha}$ 是有界的。我们还得到了球面平均对此类 $p$ 和 $\alpha$ 的 $L^p_{|x|^\alpha}$-范数收敛性质。最后，我们证明了许多算子在端点或端点之外成立某些新类型的 $|x|^\alpha$-加权估计，例如 Hardy-Littlewood 极大算子、某些极大截断奇异积分算子、极大 Carleson 算子等。这些新估计可以看作是对于那些不满足 $(H^p,H^p)$ 和 $(H^p,L^p)$ 类型的算子的 $(H^p,H^p)$ 和 $(H^p,L^p)$ 估计的某种替代。