Hermite 算子的 Bochner-Riesz 平均的几乎处处收敛

设 $H = -\Delta + |x|^2$ 为 ${\mathbb R}^n$ 中的 Hermite 算子。本文研究对应于 $H$ 的 Bochner-Riesz 平均的几乎处处收敛性，其定义为 $S_R^{\lambda}(H)f(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \big(1-{2k+n\over R^2}\big)_+^{\lambda} P_k f(x)$。这里 $P_k f$ 是第 $k$ 个 Hermite 谱投影算子。对于 $2\le p<\infty$，我们证明若 $\lambda> \lambda(p)/2$ 且 $\lambda(p)=\max\big\{ n\big({1/2}-{1/p}\big)-{1/ 2}, \, 0\big\}$，则对所有 $f\in L^p(\mathbb R^n)$ 有 $$\lim\limits_{R\to \infty} S_R^{\lambda}(H) f=f \ \ \ \text{a.e.}$$ 反之，我们也证明当 $\lambda< \lambda(p)/2$ 时收敛一般不成立，其意义在于存在某个 $f\in L^p(\mathbb R^n)$（$2n/(n-1)\le p$）使得收敛失败。这与 Laplacian 的经典 Bochner-Riesz 平均的几乎处处收敛形成惊人对比。对于 $n\geq 2$ 和 $p\ge 2$，我们的结果表明 $S_R^{\lambda}(H)$ 几乎处处收敛的临界可和性指数仅约为经典 Bochner-Riesz 平均几乎处处收敛临界指数的\emph{一半}。当 $n = 1$ 时，我们证明对 $p\geq 2$ 的 $f\in L^p({\mathbb R})$ 只要 $\lambda>0$ 几乎处处收敛就成立。与 Askey 和 Wainger 关于 ${\mathbb R}$ 上 $S_R^{\lambda}(H)$ 最优 $L^p$ 收敛的经典结果相比，我们仅需更小的可和性指数即可实现几乎处处收敛。