Dirichlet 级数 $H^p$ 空间的线性空间性质

我们研究范围 $0<p< \infty$ 内称为 $\mathcal{H}^p$ 的 Dirichlet 级数 $H^p$ 空间。我们首先证明两种定义 $\mathcal{H}^p$ 的自然方式是一致的。随后我们研究 $\mathcal{H}^p$ 的一些线性空间性质。更具体地，我们研究由 Riemann zeta 函数的分数原函数生成的线性泛函；我们的估计依赖于某些 Hardy--Littlewood 不等式，并展示一种称为 $\mathcal{H}^p$ 与 $\mathcal{H}^{4/p}$ 之间收缩对称性的有趣现象，与通常的 $L^p$ 对偶形成对比。接下来我们基于 $\mathcal{H}^p$ 的乘法结构与其某些新单变量界之间的相互作用，推导出一般系数估计。最后，我们对 $0< p \le 1$ 时 $\mathcal{H}^p$ 上部分和算子 $\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}\mapsto \sum_{n=1}^N a_n n^{-s}$ 的范数给出一般估计，补充了 Helson 关于 $1<p<\infty$ 范围的经典结果。系数估计与部分和算子的结果展现了 $1\le p \le \infty$ 与 $0<p<1$ 范围之间的传统分裂。