平移狄利克雷级数的哈代空间

我们研究平移狄利克雷级数的哈代空间 $\mathcal{H}_{+}$。它由这样的狄利克雷级数 $\sum a_n n^{-s}$ 组成：对某个（等价地，任意）$1 \leq p < \infty$，平移 $\sum{a_{n}}n^{-(s+\frac{1}{\sigma})}$ 对每个 $\sigma>0$ 都属于哈代空间 $\mathcal{H}^{p}$。我们证明，赋予由半范数 $\left\{\Vert\cdot\Vert_{2,k}\right\}_{k\in\mathbb{N}}$ 诱导的拓扑（其中 $\Vert\sum{a_{n}n^{-s}}\Vert_{2,k}$ 定义为 $\big\Vert\sum{a_n n^{-(s+\frac{1}{k})}} \big\Vert_{\mathcal{H}^{2}}$）后，该集合是一个 Fréchet 空间，且是 Schwartz 而非核的。此外，狄利克雷单项 $\{n^{-s}\}_{n \in \mathbb N}$ 是 $\mathcal H_+$ 的一个无条件 Schauder 基。秉承 Gordon 与 Hedenmalm 工作的精神，我们完全刻画了平移狄利克雷级数哈代空间上的复合算子。进而，我们研究 $\mathcal{H}_{+}$ 上的叠加算子，并证明每个多项式都定义一个此类算子。我们给出整函数系数定义叠加算子的某些充分条件。借助数论技巧，我们给出一些不提供叠加算子的例子。最后我们考察微分与积分算子在这些空间上的作用。