Helson 关于一般 Dirichlet 级数定理的若干变体

Helson 关于一般 Dirichlet 级数 $\sum a_{n} e^{-\lambda_{n}s}$ 的一个结果表明，只要 $(a_{n})$ 是 $2$-可和的且 $\lambda=(\lambda_{n})$ 满足 Bohr 引入的某一条件，则对几乎所有同态 $\omega \colon (\mathbb{R},+) \to \mathbb{T}$，Dirichlet 级数 $\sum a_{n} \omega(\lambda_{n})e^{-\lambda_{n}s}$ 在开右半平面 $[Re>0]$ 上收敛。对于通常的 Dirichlet 级数 $\sum a_n n^{-s}$，Hedenmalm 与 Saksman 将此结果与著名的 Carleson-Hunt 关于傅里叶级数点态收敛的定理相联系，而 Bayart 在其此类级数的 Hardy 空间 $\mathcal{H}_p$ 理论中推广了它。本文旨在我们近期的一般 Dirichlet 级数的 Hardy 空间 $\mathcal{H}_{p}(\lambda),\,1\le p \le \infty,$ 理论中证明 Helson 定理的变体。更确切地说，在自反情形 $1 < p < \infty$ 下，我们将 Helson 的结果推广到 $\mathcal{H}_{p}(\lambda)$ 中的 Dirichlet 级数而无需对频率 $\lambda$ 附加任何条件；在非自反情形 $p=1$ 下，推广到满足所谓 Landau 条件（比 Bohr 条件更一般）的更广频率类。两种情形我们都补充了相关极大不等式。最后，我们给出了对一般 Dirichlet 级数 Hardy 空间结构理论的若干应用。