关于两变量绝对收敛加权 Dirichlet 级数的逆问题

设 $0<p\leq 1$，设 $\omega:\mathbb N^2 \to [1,\infty)$ 为一个准单调权重。设 $\mathbb H$ 为复平面上的闭右半平面。设 $\widetilde a$ 为复值函数，满足 $\widetilde a(s_1,s_2)=\sum_{(m,n)\in \mathbb N^2}a(m,n)m^{-s_1}n^{-s_2}$ 对所有 $(s_1,s_2)\in \mathbb H^2$ 成立，且 $\sum_{(m,n)\in \mathbb N^2} |a(m,n)|^p\omega(m,n)<\infty$。若 $\widetilde a$ 在 $\mathbb H^2$ 上远离零有界，则存在一个准单调权重 $\nu$ 于 $\mathbb N^2$，满足 $1\leq \nu\leq \omega$，且 $\nu$ 当且仅当 $\omega$ 为常数时为常数，$\nu$ 当且仅当 $\omega$ 为可采时才可采， reciprocal $\frac{1}{\widetilde a}$ 在 $\mathbb H^2$ 上拥有 Dirichlet 表示 $\frac{1}{\widetilde a}(s_1,s_2)=\sum_{(m,n)\in \mathbb N^2}b(m,n)m^{-s_1}n^{-s_2}$，且 $\sum_{(m,n)\in \mathbb N^2}|b(m,n)|^p\nu(m,n)<\infty$。若 $\varphi$ 为 $\widetilde a$ 取值闭集邻域上的全續函数，则存在一个准单调权重 $\xi$ 于 $\mathbb N^2$，满足 $1\leq \xi\leq \omega$，且 $\xi$ 当且仅当 $\omega$ 为常数时为常数，$\xi$ 当且仅当 $\omega$ 为可采时才可采，$\varphi \circ \widetilde a$ 拥有 Dirichlet 级数表示 $(\varphi\circ \widetilde a)(s_1,s_2)=\sum_{(m,n)\in \mathbb N^2} c(m,n)m^{-s_1}n^{-s_2}$（$(s_1,s_2)\in \mathbb H^2$），且 $\sum_{(m,n)\in \mathbb N^2}|c(m,n)|^p\xi(m,n)<\infty$。设 $\omega$ 为 $\mathbb N^2$ 上的可采权重，且 $\widetilde a$ 拥有 $p$ 次幂 $\omega$ 绝对收敛 Dirichlet 级数。则证明 $\widetilde a$ 的 reciprocal 拥有 $p$ 次幂 $\omega$ 绝对收敛 Dirichlet 级数当且仅当 $\widetilde a$ 在 $\mathbb H^2$ 上远离零有界。