Dirichlet 级数核的拟不变性、解析符号与齐次算子

对于标量矩阵 $\mathbf a=(a_{m, n})_{m, n=1}^{\infty}$，Dirichlet 级数核 $\kappa_{\mathbf a}$ 是变量 $s$ 与 $\bar{u}$ 下的二重 Dirichlet 级数 $\kappa_{\mathbf a}(s, u) = \sum_{m, n =1}^{\infty} a_{m, n}m^{-s} n^{-\bar{u}}$，其在某右半平面 $\mathbb H_\rho$ 上正则收敛。解析符号 $A_{n, \mathbf a} = \sum_{m=1}^{\infty}a_{m, n}m^{-s},$ $n \geq 1$ 在与半正定核 $\kappa_{\mathbf a}$ 相关的再生核 Hilbert 空间 $\mathscr H_{\mathbf a}$ 的研究中居于核心地位。特别地，它们构成 $\mathscr H_{\mathbf a}$ 的一个全子集，并给出公式 $\sum_{n=1}^{\infty}\langle f, A_{n, \mathbf a} \rangle n^{-s},$ $s \in \mathbb H_\rho,$ 其中 $f \in \mathscr H_{\mathbf a}$。我们将 Dirichlet 级数核的基本理论与 Gelfond-Schneider 定理（希尔伯特第七问题）相结合，证明任意拟不变 Dirichlet 级数核 $\kappa_{\mathbf a}(s, u)$ 可分解为 $f(s)\bar{f(u)}$，其中 $f$ 为 $\mathbb H_\rho$ 上的某 Dirichlet 级数。特别地，若 $\mathscr H_{\mathbf a}$ 的维数大于一，则不存在拟不变 Dirichlet 级数核 $\kappa_{\mathbf a}$。这与单位圆盘的情形形成鲜明对比，后者存在大量不可分解的拟不变核。我们进一步讨论了在 $\mathbb H_\rho$ 的平移自同构群 $\mathscr T$ 下不变的 Dirichlet 级数核 $\kappa_{\mathbf a}$，并构造了 $\mathscr H_{\mathbf a}$ 中一族稠定 $\mathscr T$-齐次算子，其伴随算子仅在零向量处有定义。