多连通圆域的希尔伯特问题与极板中霍尔效应的分析

本文分析了 $(N+1)$-连通圆域的解析函数理论中的希尔伯特边值问题。对于连续系数的情况，已经导出了精确的级数形式解。受多连通极板中霍尔效应研究的启发，我们通过考察不连续系数的情况推广了这些结果。希尔伯特问题映射为对称分段亚纯函数的黎曼-希尔伯特问题，该函数关于对称 Schottky 群不变。该问题的解由两种柯西核的类似物，即拟自同构核和拟乘积核给出。前一种核对于任何对称 Schottky 群都是已知的。我们证明了第二种核，即拟乘积核，对于任何 Schottky 群的存在定理（其级数表示仅对第一类群已知）。我们还表明，使用自同构核需要求解相关的 Jacobi 翻转问题的实类似物，而如果我们采用拟自同构核和拟乘积核，则可以绕过该问题。我们将此理论应用于带电电子在具有 $N+1$ 个圆孔且壁上有电极和介质的极板中运动的模型稳态问题，此时导体与外加磁场成直角放置。