奇异Z_N曲线、Riemann-Hilbert问题与Schlesinger方程的模解
数学物理
2015-10-07 v2 代数几何
math.MP
摘要
我们在去掉2m+2个点的扩充复平面上，针对NxN拟置换单值矩阵求解秩N>1的经典Riemann-Hilbert问题。遵循Korotkin，我们用分支覆盖给定2m+2个点的某些Riemann曲面的Szego核求解Riemann-Hilbert问题。这些Riemann曲面由对称群S_N的置换表示构造，拟置换单值表示已约化为该表示。我们问题的置换表示生成循环子群Z_N。因此相应的亏格为N(m-1)的Riemann曲面具有Z_N对称性。这一事实使我们能将NxN Riemann-Hilbert问题解的矩阵元写为代数函数与theta函数商的乘积。该代数函数被证明与零特征的Szego核相关。由Riemann-Hilbert问题的解我们自动得到Schlesinger系统的一个特解。Schlesinger系统的tau函数被显式算出。详细研究了具四个奇点(0,t,1,\infty)的秩3问题。相应的Riemann-Hilbert问题与Schlesinger系统的解用模T=T(t)、Im(T)>0的Jacobi theta函数给出。若T=T(t)属于模群子群\Gamma_0(3)之上的Siegel上半空间，则该可逆。逆函数t=t(T)生成一般Halphen系统的解。
引用
@article{arxiv.math-ph/0306050,
title = {Singular Z_N curves, Riemann-Hilbert problem and modular solutions of the Schlesinger equation},
author = {V. Enolskii and T. Grava},
journal= {arXiv preprint arXiv:math-ph/0306050},
year = {2015}
}
备注
44 pages