Schlesinger 型等单值问题中的谱曲线与 Whitham 方程

自本世纪初以来已知等单值问题——典型如 Painlevé 超越函数——在合适的渐近区域看起来像是某种等谱问题的“调制”。这里结合最近与 $N = 2$ 超对称规范理论的 Seiberg-Witten 解相关的研究，重新考量等单值问题与等谱问题之间的这一联系。在一个典型的等单值问题即 Schlesinger 方程中阐明一般机制，该方程被重新表述以包含一个小分子参数 $\epsilon$。在微小 $\epsilon$ 极限下，该等单值问题的解预期表现为等谱问题的缓慢调制有限隙解。此调制由有限隙解的谱曲线的缓慢形变引起。通过启发式方法导出了这一缓慢动力学的调制方程。Seiberg-Witten 型的逆周期映射被证明给出该调制方程的一般解。这一一般解的构造也揭示了在同一谱曲线模空间上存在 Seiberg-Witten 型的形变。还以与 Seiberg-Witten 理论的前势相同的方式构造了一个前势。