与半无限 Hilbert 变换相关的积分关系及其在奇异积分方程中的应用

推导了半轴上针对 Laguerre 多项式、合流超几何函数和柱函数的带 Cauchy 核的积分关系。其中部分公式通过利用 Hermite 多项式的某些性质获得，包括其 Hilbert 变换和 Fourier 变换以及与 Laguerre 多项式的联系。所发现的关系产生了新的正交函数的完备系。提出了半无限区间上特征与完全奇异积分方程的无奇异积分精确与近似解。另一组半轴上的 Hilbert 变换由有限段上针对 Jacobi 多项式和第二类 Jacobi 函数的带 Cauchy 核积分关系，令其中某些参数趋于无穷而导出。这些公式导出了 Bessel 函数的积分关系。给出了它们在接触力学模型问题中的应用。基于 Laguerre 多项式与合流超几何函数的积分关系推导了半轴上 Cauchy 积分的新求积公式，并进行了数值检验。得到了余项的界。