双复数代数与函数论

本论文研究定义在 Segre 引入的双复数空间上的全纯函数。这些函数的理论与 Fueter 的正则四元数函数理论相关联。四元数与双复数的代数借助所谓的复数对来发展。特别注意了缺少逆元的奇异双复数。定义了初等双复函数并研究了其性质。双复函数的导数定义为分母非奇异的分式的极限。导数的存在等价于复化 Cauchy-Riemann 方程成立，该方程刻画了双复全纯函数。证明了此类函数具有任意阶的导数。双复积分定义为线积分。给出了路径无关的条件以及 Cauchy 定理与积分公式的双复推广。最后，考虑了双复函数与 Laplace 方程不同形式之间的关系。特别地，使用四元数微分算子对四维 Laplace 方程进行了因式分解。结果是新的双复函数类，包括 Fueter 的正则函数。表明每一类都包含可微函数。