关于 Dirichlet eta 函数的非平凡零点

我们构造了一个双参数复函数 $\eta_{\kappa \nu}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, $\kappa \in (0, \infty)$, $\nu\in (0,\infty)$，我们称之为全纯非线性嵌入，它由一个在整个复平面的紧集上绝对且一致收敛的二重级数给出。当 $\kappa \to \infty$ 时，函数 $\eta_{\kappa \nu}$ 收敛于 Dirichlet eta 函数 $\eta(s)$。我们证明了关键性质：对于足够大的 $\kappa$，函数 $\eta_{\kappa \nu}(s)$ 可以表示为 eta 函数水平平移的线性组合 $\eta_{\kappa \nu}(s)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\kappa) \eta(s+2\nu n)$（其中 $a_{n}(\kappa) \in \mathbb{R}$ 且 $a_{0}=1$），并且确实存在逆公式 $\eta(s)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(\kappa) \eta_{\kappa \nu}(s+2\nu n)$（其中系数 $b_{n}(\kappa) \in \mathbb{R}$ 由 $a_{n}$ 递归得到）。利用这些结果以及 eta 函数的函数关系 $\eta(s)=\lambda(s)\eta(1-s)$，我们勾勒了黎曼假设的证明，在我们的设定下，该假设等价于 $\eta(s)$ 的非平凡零点 $s^{*}=\sigma^{*}+it^{*}$（即满足 $\eta(s^{*})=\eta(1-s^{*})=0$ 的点）全部位于临界线 $\sigma^{*}=\frac{1}{2}$ 上这一事实。