可数理论的不可数谱

设 T 为有限或可数语言中具有无限模型的完备一阶理论。令 I(T,\kappa) 为 T 的基数为 \kappa 的模型的同构类型数。我们以 \mu（ respectively \hat\mu）表示小于或等于 \kappa 的基数（ respectively 无限基数）的个数。我们证明 I(T,\kappa) 作为 \kappa > \aleph_0 的函数，是 2^{\kappa} 与下列函数之一的最小值：1. 2^{\kappa}；2. 常函数 1；3. 对某些 1<n<\omega 当 \hat\mu<\omega 时的 |\hat\mu^n/{\sim_G}|-|(\hat\mu - 1)^n/{\sim_G}|，以及当 \hat\mu >= \omega 时的 \hat\mu，其中某个群 G <= Sym(n)；4. 常函数 \beth_2；5. 对某个无限可数序数 d 的 \beth_{d+1}(\mu)；6. \sum_{i=1}^d \Gamma(i)，其中 d 为大于 0 的整数（T 的深度），且 \Gamma(i) 为 \beth_{d-i-1}(\mu^{\hat\mu}) 或 \beth_{d-i}(\mu^{\sigma(i)} + \alpha(i))，其中 \sigma(i) 为 1、\aleph_0 或 \beth_1，\alpha(i) 为 0 或 \beth_2；\Gamma(i) 的第一种可能仅当 d-i > 0 时出现。