论无穷阶序性质的 Hanf 数

我们研究与 Hanf 数相关的若干基数及序数值函数。设 $\kappa$ 为无穷基数，$T \subseteq L_{\kappa^+, \omega}$ 为基数 $\leq \kappa$ 的理论，$\gamma$ 为序数 $\geq \kappa^+$。例如，我们考察 (1) $\mu_{T}^*(\gamma, \kappa):= \min \{\mu^* \mid \text{对所有 } \phi \in L_{\infty, \omega}, \text{且 } rk(\phi)< \gamma, \text{若 } T \text{ 具有 } (\phi, \mu^*)\text{-序性质, 则存在公式 } \phi'(x;y) \in L_{\kappa^+, \omega}, \text{使得对所有 } \chi \geq \kappa, T \text{ 具有 } (\phi', \chi)\text{-序性质}\}$；以及 (2) $\mu^*(\gamma, \kappa):= \sup\{\mu_T^*(\gamma, \kappa) \mid T \in L_{\kappa^+,\omega}\}$。