Pcf 理论与 Woodin 基数

我们证明如下两个结果。定理 A：设 alpha 为极限序数。假设 $2^{|alpha|}<\aleph_\alpha$ 且 $2^{|alpha|^+}<\aleph_{|alpha|^+}$，而 $\aleph_\alpha^{|alpha|}>\aleph_{|alpha|^+}$。则对所有 $n<\omega$ 及所有有界 $X\subset \aleph_{|alpha|^+}$，存在 $M_n^\#(X)$。定理 B：设 kappa 为具有不可数共尾度的奇异基数。若 $\{\alpha<\kappa\mid 2^\alpha=\alpha^+\}$ 既是驻集也是余驻集，则对所有 $n<\omega$ 及所有有界 $X\subset \kappa$，存在 $M_n^\#(X)$。定理 A 回答了 Gitik 与 Mitchell 的一个问题，定理 B 给出了 Gitik, M., Introduction to Prikry type forcing notions, in: Handbook of set theory, Foreman, Kanamori, Magidor（见其中问题 4）所讨论的一个断言的下界。这些定理的证明将 pcf 理论与核心模型理论相结合。在此过程中，我们建立了受 Silver 定理启发的若干 ZFC 基数算术结果，并获得了受构建“稳定核心模型”任务启发的核心模型理论结果。两组结果均具有独立的意义。