Hjorth 基数刻画的非绝对性

在[5]中，Hjorth 证明了对每个可数序数 $\alpha$，存在一个完备的 $\mathcal{L}_{\omega_1,\omega}$-句子 $\phi_\alpha$，它具有所有小于等于 $\aleph_\alpha$ 基数的模型，但没有基数 $\aleph_{\alpha+1}$ 的模型。遗憾的是，他的解并未给出单一的 $\mathcal{L}_{\omega_1,\omega}$-句子 $\phi_\alpha$，而是一组 $\mathcal{L}_{\omega_1,\omega}$-句子，其中保证有一个可行。在[9]中有人猜想，这些句子中哪一个具有所期望的性质独立于 ZFC 公理。本文中，我们证明该猜想为真。更具体地，我们分离出一个从 $\omega_1$ 到 $\omega_1$ 的函数的对角化原理，它是有界恰当力迫公理(BPFA)的推论，然后利用该原理证明 Hjorth 在 BPFA 模型中刻画 $\aleph_2$ 的解不同于 CH 模型中的解。此外，我们通过证明我们的对角化原理可在 CH 模型上力迫得到，表明获得此独立性结果不需要大基数。