$\aleph_\omega$ 处模型存在性的非绝对性

在 [FHK13] 中，作者考虑了 $L_{\omega_1,\omega}$-语句的模型存在性对 ZFC 的传递模型是否绝对的问题，即：若 $V \subseteq W$ 是具有相同序数的 ZFC 传递模型，$\varphi\in V$ 且 $V\models "\varphi \text{ 是一个 } L_{\omega_1,\omega}\text{-语句}"$，则 $V \models "\varphi \text{ 有一个大小为 } \aleph_\alpha \text{ 的模型}"$ 当且仅当 $W \models "\varphi \text{ 有一个大小为 } \aleph_\alpha \text{ 的模型}"$。由 [FHK13] 可知，当 $\alpha=0,1$ 时该问题的答案是肯定的；而在 CH 的否定下，对所有 $\alpha>1$ 答案是否定的。在 GCH 下，且假设一个超紧致基数的相容性，除了 $\alpha=\omega$ 这一在 [FHK13] 中的开放问题外，对每个 $\alpha>1$ 答案仍为否定。我们通过在 GCH 下即使对 $\alpha=\omega$ 给出否定回答，从而解决了该开放问题。我们的例子是不完备语句。事实上，假设一个 Mahlo 基数的相容性，同样的语句可用于证明在 GCH 下对所有 $\alpha>1$ 的否定回答。因此，大基数假设从 [FHK13] 中的超紧致基数放宽到了 Mahlo 基数。最后，我们考虑了 $L_{\omega_1,\omega}$-语句（在子结构下）的 $\aleph_\alpha$-融合性质的绝对性问题。我们证明了在 GCH 下，$\aleph_\alpha$-融合对 $1<\alpha<\omega$ 是非绝对的。这回答了来自 [SS] 的一个问题。$\alpha=1$ 和 $\alpha$ 为无穷的情况仍然是开放的。作为推论，我们得到 $L_{\omega_1,\omega}$-语句的融合谱为空这一性质是非绝对的。