许多基数中普适序的不存在性

我们的主题是：并非集合论中每一个有趣的问题都独立于 $ZFC$。我们给出一个具有可数 $D(T)$ 的一阶理论 $T$ 的例子，该理论在缺乏 CH 时不能在 $\aleph_1$ 处有普适模型；我们在 $ZFC$ 中由某理论存在普适模型的假设证明一个覆盖定理；并且我们——同样在 ZFC 中——证明对一大类基数不存在普适线性序（例如在每个 $\aleph_1<\lambda<2^{\aleph_0}$ 中）。事实上，我们证明的是：若在一个正则基数 $\lambda$ 处存在普适线性序，且其存在不是平凡的基数算术原因所致，则 $\lambda$ “类似于” $\aleph_1$——一个已知具有普适序的一致性的基数。至于奇异基数，我们证明对许多奇异基数，若它们不是强极限基数，则没有普适线性序。作为普适线性序不存在的结果，我们证明了对于所有具有严格序性质的理论（例如有序域与群、布尔代数、p 进环与域、偏序、PA 的模型等等）的普适模型的不存在性。