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算术对集合论的结论

逻辑 2016-09-06 v1

作者: Lorenz Halbeisen , Saharon Shelah

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摘要

本文考虑 ZF(无选择公理 AC 的集合论)中的某些基数。在 ZFC(含 AC 的集合论)中,给定任意基数 C 与 D,要么 C ≤ D,要么 D ≤ C。然而在 ZF 中不再如此。对给定的无限集 A,考虑 Seq(A),即 A 中所有无重复序列的集合。我们将 |Seq(A)|(该集合的基数)与 |P(A)|(A 的幂集的基数)进行比较。在 ZF 中关于这两个基数可证什么?本文的主要结果是 ZF ⊢ 对所有 A:|Seq(A)| ≠ |P(A)|,并表明这是可能的最好结果。此外,在 ZF 中可证:若 B 是无限集,则 |fin(B)| < |P(B)|,尽管对某些无限集 B* 存在从 fin(B*) 到 P(B*) 的满射函数与 ZF 是一致的。

关键词

ZF 基数 Seq(A) 幂集 fin(B) 选择公理一致性

引用

@article{arxiv.math/9308220,
  title  = {Consequences of arithmetic for set theory},
  author = {Lorenz Halbeisen and Saharon Shelah},
  journal= {arXiv preprint arXiv:math/9308220},
  year   = {2016}
}