ZF 中的四个基数及其关系

对于集合 $M$，$\operatorname{fin}(M)$ 表示 $M$ 的所有有限子集的集合，$M^2$ 表示笛卡尔积 $M\times M$，$[M]^2$ 表示 $M$ 的所有 $2$ 元子集的集合，$\operatorname{seq}^{1-1}(M)$ 表示由 $M$ 中元素构成的无重复有限序列的集合。此外，对于集合 $S$，令 $|S|$ 表示 $S$ 的基数。在四个基数 $|[M]^2|$、$|M^2|$、$|\operatorname{fin}(M)|$、$|\operatorname{seq}^{1-1}(M)|$ 两两不同且在 ZF 中两两可比较的假设下，这四个基数之间存在六种可能的线性序。我们证明这六种可能的线性序中至少有五种与 ZF 相容。