含 $n$ 个非单元块的集合的有限划分

若划分的所有块均为有限集，则称该划分为有限划分。对于基数 $\mathfrak{a}$ 和自然数 $n$，记 $\mathrm{fin}(\mathfrak{a})$ 和 $\mathscr{B}_{n}(\mathfrak{a})$ 分别为基数为 $\mathfrak{a}$ 的集合的有限子集基数与恰含 $n$ 个非单元块的有限划分基数。在本文中，我们在 $\mathsf{ZF}$（无选择公理）中证明，对于所有无限基数 $\mathfrak{a}$ 和所有非零自然数 $n$，$$(2^{\mathscr{B}_{n}(\mathfrak{a})})^{\aleph_0}=2^{\mathscr{B}_{n}(\mathfrak{a})}$$ 且 $$2^{\mathrm{fin}(\mathfrak{a})^n}=2^{\mathscr{B}_{2^n-1}(\mathfrak{a})}.$$ 同时证明，在 $\mathsf{ZF}$ 中一致地存在一个无限基数 $\mathfrak{a}$，使得 $$2^{\mathscr{B}_{1}(\mathfrak{a})}<2^{\mathscr{B}_{2}(\mathfrak{a})}<2^{\mathscr{B}_{3}(\mathfrak{a})}<\cdots<2^{\mathrm{fin}(\mathrm{fin}(\mathfrak{a}))}.$$