对所有部分集合均成立的分拆数恒等式

设 $B$ 为 $\mathbf{N}$ 的一个无限子集。当我们考虑将自然数分拆为 $B$ 中元素时，无等分部分数量限制的分拆数可以由带有等分部分数量限制 $\alpha$ 的分拆数表示。尽管表示方式多种多样，我们证明存在一种表示形式，使得该表示形式对所有可能的集合 $B$ 均成立。这些恒等式源自自然数分拆为 $\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\cdots\}$ 的分拆数。此外，我们证明了该表示形式存在逆形式。我们还证明了其他类似的恒等式。本文中的证明均是构造性的。