关于收敛到正无穷的序列族的一个组合性质
逻辑
2016-09-06 v1
摘要
我们考虑收敛到正无穷的序列族 F，使得 F 满足如下条件 (C)：(C)：如果实数轴上的开集 U 上方无界，则存在属于 F 的一个序列，其有无穷多项属于 U。对于从 {0,1,2,...} 到 {0,1,2,...} 的函数 f,g，我们定义：f =< g 当且仅当 {i: f(i) > g(i)} 是有限集。令 b 表示从 {0,1,2,...} 到 {0,1,2,...} 的函数的无界（在 =< 意义下）族的最小基数，见 [1]。定理 1. 若 F 是收敛到正无穷的序列族且 card F < b，则 F 不满足条件 (C)。推论。每一个满足条件 (C) 的收敛到正无穷的序列族都是不可数的；Martin 公理蕴含每一个这样的族都具有连续统的基数（因为 Martin 公理蕴含 b=连续统，见 [1], [2]）。定理 2. 存在一个满足条件 (C) 且基数为 b 的收敛到正无穷的序列族。参考文献 [1] R. Frankiewicz, P. Zbierski, Hausdorff gaps and limits, Amsterdam: North-Holland, 1994. [2] T. Jech, Set theory, New York, Academic Press, 1978.
引用
@article{arxiv.math/9502204,
title = {On a combinatorial property of families of sequences converging to +infinity},
author = {Apoloniusz Tyszka},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9502204},
year = {2016}
}