如何使我们的族发狂

给定可数集 $S$ 上一族两两几乎不交的集合 $F$，我们研究扩充 $F$ 的极大几乎不交（mad）族 $F^+$。我们定义 $a^+(F)$ 为这样的 $F^+$ 中 $F^+\setminus F$ 的最小可能基数，并定义 $a^+(\kappa)=\sup\{a^+(F): |F| \leq \kappa \}$。我们证明所有小于等于连续统的无穷基数均可表示为某个几乎不交 $F$ 的 $a^+(F)$，并且不等式 $\aleph_1=a<a^+(\aleph_1)=c$ 与 $a=a^+(\aleph_1)<c$ 都是一致的。我们也给出若干具有某些额外性质的 mad 族的构造。