黎曼积分的绝对性

本文探讨了数学分析中绝对性的概念，特别聚焦于 $\mathbb{R}^{n}$ 上的黎曼积分。在数理逻辑中，'绝对性'指的是某些命题在不同数学宇宙中的真值不变性。利用这一思想，我们研究了黎曼积分在 ZFC 的传递模型之间保持绝对性的条件，ZFC 是当前数学通常形式化的标准公理系统。为此，我们发展了关于布尔代数上有限可加测度的积分框架，并证明经典黎曼积分是该广义方法的一个特例。我们的主要结果表明，$\mathbb{R}^{n}$ 中矩形上的黎曼积分在以下意义下是绝对性的：若 $M \subseteq N$ 为 ZFC 的传递模型，$a, b \in \mathbb{R}^{n} \cap M$，且 $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ 是 $M$ 中的有界函数，则 $f$ 在 $M$ 中黎曼可积当且仅当在 $N$ 中存在一个黎曼可积函数 $g \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ 延拓 $f$。在此情况下，各模型中计算的积分值相同。此外，函数 $g$ 除一个零测集外是唯一的。