无限维空间中弱连续条件下的黎曼可积性

在经典分析中，连续性与黎曼可积性之间的关系是密切的：闭有界区间上的连续函数总是黎曼可积的，而黎曼可积函数几乎处处连续。在取值于包含拟 Banach 空间在内的无限维空间的函数情形下，除了微积分基本定理失效以及连续函数原函数的不存在之外，人们还会遇到上述现象失效的某些奇特情况！虽然其中一些性质在 Banach 空间类中确实可以挽回，但事实证明，涉及包含黎曼积分在内的向量积分的某些重要性质在无限维环境中不再成立。例如，在需要积分相对于 X（或其对偶）上某些已知的（通常是相容的）弱于范数拓扑的线性拓扑连续的函数时，就会出现这种情况。正如我们在第 3(a) 节将看到的，这样的要求对所述空间施加了相当严格的限制。本文致力于讨论这些问题，将在 Banach 空间和 Frechet 空间一方面与拟 Banach 空间另一方面设置下加以考察。文章最后简要（但非技术性）描述了涉及向量积分其他各个方面的最新进展和现状。