有限阶分布上的积分与 Banach 空间

令 $\mathcal{B}_c$ 表示在扩展实直线上连续且在 $-\infty$ 处为零的实值函数。令 $\mathcal{B}_r$ 表示左连续、在每点有右极限且在 $-\infty$ 处为零的函数。定义 $\mathcal{A}_c^n$ 为 $\mathcal{B}_c$ 中唯一函数的 $n$ 阶分布导数的缓增分布空间。类似地由 $\mathcal{B}_r$ 定义 $\mathcal{A}_r^n$。在 $\mathcal{A}_c^n$ 和 $\mathcal{A}_r^n$ 中的分布上定义了一类积分。乘子是有限变差函数的累次积分。对每个 $n\in\mathbb{N}$，空间 $\mathcal{A}_c^n$ 和 $\mathcal{A}_r^n$ 分别是等距同构于 $\mathcal{B}_c$ 和 $\mathcal{B}_r$ 的 Banach 空间、Banach 格和 Banach 代数。在此格的序下，若一个分布可积，则其绝对值也可积。对偶空间等距同构于有限变差函数。空间 $\mathcal{A}_c^1$ 是 $L^1$ 函数在 Alexiewicz 范数下的完备化。空间 $\mathcal{A}_r^1$ 包含所有有限符号 Borel 测度。许多通常的积分性质成立：Hölder 不等式、第二中值定理、范数连续性、线性变量替换、一个收敛定理。