pcf 理论在温和大基数上对初等嵌入的应用

证明了以下 pcf 结果：1. 假设 $\kappa > \aleph_0$ 是一个弱紧基数。设 $\mu > 2^\kappa$ 是一个共尾性为 $\kappa$ 的奇异基数。那么对于每个正则基数 $\lambda < pp^+_{\Gamma(\kappa)}(\mu)$，存在一个收敛于 $\mu$ 的正则基数递增序列 $(\lambda_i \mid i < \kappa)$，使得 $\lambda = \mathrm{tcf}(\prod_{i < \kappa} \lambda_i, <_{J^{bd}_\kappa})$。2. 设 $\mu$ 是一个强极限基数，$\theta$ 是一个大于 $\mu$ 的基数。假设它们中至少有一个具有不可数共尾性。那么存在 $\sigma_* < \mu$，使得对于每个 $\chi < \theta$，以下成立：$\theta > \sup\{\sup \mathrm{pcf}_{\sigma_*\text{-complete}}(\mathfrak{a}) \mid \mathfrak{a} \subseteq \mathrm{Reg} \cap (\mu^+, \chi) \text{ 且 } |\mathfrak{a}| < \mu\}$。作为应用，我们证明：如果 $\kappa$ 是一个可测基数，且 $j:V \to M$ 是由 $\kappa$ 上的 $\kappa$-完备超滤子生成的初等嵌入，那么对于每个 $\tau$，以下成立：1. 如果 $j(\tau)$ 是一个基数，则 $j(\tau) = \tau$；2. $|j(\tau)| = |j(j(\tau))|$；3. 对于 $\kappa$ 上的任何 $\kappa$-完备超滤子 $W$，有 $|j(\tau)| = |j_W(\tau)|$。前两项肯定地回答了 Gitik 和 Shelah (1993) [2] 提出的问题，第三项回答了 D. Fremlin 提出的问题。