不可达基数 κ 在 κ^{++} 处具有紧致性时的广义基数不变量

我们证明：若存在一个超紧基数 κ 且其上有一个弱紧基数 λ 是一致的，则以下情形也是一致的（其中 $\mathfrak{t}(\kappa)$ 和 $\mathfrak{u}(\kappa)$ 分别为塔数与超滤数）：(i) 存在一个不可达基数 $\kappa$，使得 $\kappa^+ < \mathfrak{t}(\kappa)= \mathfrak{u}(\kappa)< 2^\kappa$ 且 $SR(\kappa^{++})$ 成立；(ii) 存在一个不可达基数 $\kappa$，使得 $\kappa^+ = \mathfrak{t}(\kappa) < \mathfrak{u}(\kappa)< 2^\kappa$ 且 $SR(\kappa^{++}), TP(\kappa^{++})$ 与 $\neg wKH(\kappa^+)$ 成立。在这些模型中，基数 $\mathfrak{u}(\kappa)$ 与 $2^\kappa$ 可以取任意合理的值。我们通过将 Brooke-Taylor、Fischer、Friedman 与 Montoya 的力迫构造与 Mitchell 力迫以及（新的与旧的）紧致性原则的不可摧毁性结果相结合而得到这些结果。除 $\mathfrak{u}(\kappa)$ 与 $\mathfrak{t}(\kappa)$ 外，我们还计算了 $\mathfrak{b}(\kappa)$、$\mathfrak{d}(\kappa)$、$\mathfrak{s}(\kappa)$、$\mathfrak{r}(\kappa)$、$\mathfrak{a}(\kappa)$、$\mathrm{cov}(M_\kappa)$、$\mathrm{add}(M_\kappa)$、$\mathrm{non}(M_\kappa)$、$\mathrm{cof}(M_\kappa)$ 的值，它们都将等于 $\mathfrak{u}(\kappa)$。在 (ii) 中，我们通过观察到 Mitchell 力迫的 $\kappa^+$-分配商添加了一个大小为 $\kappa^+$ 的塔，从而计算出 $\mathfrak{p}(\kappa) = \mathfrak{t}(\kappa) = \kappa^+$。最后，我们观察到 (i) 与 (ii) 对于 $\kappa = \omega$ 上的传统不变量也成立，使用的是直到一个弱紧基数的 Mitchell 力迫；在此情形下我们还得到了不相交平稳序列性质 $DSS(\omega_2)$，它蕴含了可逼近性质之否定 $\neg AP(\omega_2)$。