一阶理论的可数模型数量

全文始终，$T$ 表示一个在可数语言 $L$ 中具有无限模型的完备一阶理论，$I(\aleph_0,T)$ 表示 $T$ 的可数模型在同构意义下的数量。为确定 $I(\aleph_0,T)$，只需考虑论域为 $\omega$ 的 $T$ 的可数模型；由于论域为 $\omega$ 的 $L$-结构最多有连续统多个，因此 $I(\aleph_0,T)\leqslant 2^{\aleph_0}$ 成立。满足 $I(\aleph_0,T)=1$ 的理论是 $\aleph_0$-范畴理论。这些理论包括无限集理论、有限域上无限维向量空间理论以及稠密线性序理论。满足 $I(\aleph_0,T)<2^{\aleph_0}$ 的理论被称为具有少量可数模型。在本文中，我们讨论并综述了关于 Vaught 猜想、Martin 猜想以及 Ehhrenfeuch 理论（具有多于一个但仅有有限多个可数模型的理论）的研究工作。