受限复杂度的完备化 I：弱算术理论

给定一个在一阶算术常用语言中表述的一阶理论 $T$，如果存在某个自然数 $n$ 和某个 $\Sigma_n$-语句的集合 $\mathcal A$，使得 $T$ 可由 $\mathcal A$ 公理化，则我们称 $T$ 具有*受限复杂度*。基于没有一致的算术理论能扩展 $\mathrm{I}\Delta _{0}+\mathsf{Exp}$ 并具有一个受限复杂度的完备化这一事实，我们构造了其完备理论具有受限复杂度的算术模型。我们最强的结果表明，存在一个 $\mathsf{IOpen + Coll}$ 的模型，其完备理论具有受限复杂度，其中 $\mathsf{Coll}$ 是完全收集公理模式。