Riccati-Gamma 动力学：广义 Dirichlet Eta 函数的凹性与渐近分析

我们构建了一个统一的分析性和动力学框架，用于系统化地研究一参数族广义 Dirichlet eta 函数族 $\eta_{a}(t)=\sum_{m\ge0}(-1)^{m}(am+1)^{-t}$，其中 $a>0$，$t>0$，该函数族包含经典的 Dirichlet eta 与 beta 函数。通过将 $\eta_{a}$ 表示为 $\mathbb{E}[f_{a}(X_{t})]$ 的 Mellin-Laplace 形式，其中 $f_{a}$ 为缩放后的 logistic 函数，$(X_{t})$ 为标准 Gamma 过程，我们证明其对数导数 $\varphi_{a}(t)=\eta_{a}'(t)/\eta_{a}(t)$ 满足一个非齐次 Riccati 方程，其强迫项严格为负。这一单个不等式导致 $\eta_{a}$ 的严格凹性、严格对数凹性、$\varphi_{a}$ 的正性与单调性，以及精确的渐近律 $\varphi_{a}(t)=\log(a+1)(a+1)^{-t}+O((a+2)^{-t})$。我们进一步证明 $\varphi_{a}(t)/\varphi_{a,e}(t)\to 2/\log(a+1)$ 当 $t\to\infty$，其中 $\varphi_{a,e}(t)=-\eta_{a}''(t)/(2\eta_{a}(t))$，从而得到夹逃不等式 $0<\varphi_{a,e}(t)<\varphi_{a}(t)$ 在 $a<e^{2}-1$ 时的所有充分大的 $t$ 处成立。我们还提出了一个收敛速率为 $1/3$ 的自包含几何速率算法，用于计算 $\eta_{a}^{(k)}(t)$，并给出尖锐的误差界。高精度数值实验确认了所有结果。作为应用，我们表明 Riccati-Gamma 动力学对 $\eta_{a}$ 与 $\varphi_{a}$ 提供了一种原则化的音乐合成机制，生成一首完整的旋律，其音高与节奏由这些函数控制。